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蒋德荣 第１０册第３单元教学建议
（北京市崇文区教育研究中心 蒋德荣）
本单元的教学内容有，约数和倍数的意义，能被２、５、３整除的数，质数和合数、分解质因数，最大公约数，最小公倍数。
本单元的教学目标是：
１．使学生掌握整除、约数、倍数、质数、合数、质因数、公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数等概念。
２．掌握能被２、５、３整除的数的特征。会分解质因数（一般不超过两位数），会求最大公约数（限两个数的）和最小公倍数。
学生在第８册学习了自然数，０和自然数都是整数，整除的概念，掌握了整数四则运算的知识，本单元就是在以上的基础上教学的。学生理解和掌握本单元知识，不仅可以提高对自然数和整数的性质的认识，还为学习约分、通分及分数四则运算打下基础，也为中学学习代数中的因式分解等知识做些准备，并能发展他们的抽象思维。本单元知识概念多、比较抽象、概念间联系紧密，且易混淆，学生不易理解和掌握，是小学数学教学的重点和难点。
本单元的教学重点是求最大公约数和最小公倍数。难点是质数和合数，分解质因数及求三个数的最小公倍数。
下面就本单元教学的重点、难点，提几点教学建议。
一、重视直观操作
本单元教材在编排上注意通过操作，借助直观形象，帮助学生加深对抽象概念本质特征的认识和理解。如约数、倍数、公约数、分解质因数等知识，都是让学生动手摆计数的彩条来理解概念含义的本质。因此，教学中要注意依据教材，重视直观操作。
如教学分解质因数时，为了帮助学生理解并掌握质因数和分解质因数的概念和方法，可引导学生用彩条进行操作，结合枝形分解图，写出分解式的横式，使学生直观地看到把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来的过程。下面以例３为例说明教学过程。
例３ ６、２８、６０可以写成哪几个质数相乘的形式？
１．教学把６写成几个质数相乘的形式时，先引导学生说出６可以写成比它本身小的哪两个数的乘积
（附图 {图}）
红条和一个３厘米的浅绿条摆成，十字交叉形式，表示两个数相乘。２和３都是质数，不能改写成比它们更小的数相乘的形式，可以写成分解式的横式：６＝２×３。
２．教学把２８写成几个质数相乘的形式时，还是先让学生想２８可以写成比它本身小的哪两个数的乘积，
（附图 {图}）
是：２８＝４×７。接着引导学生思考４和７都是２８的因数，７是质数，已符合题意；但４是合数；还可以改写成２×２。２是质数，不能改写成比它更小的数的相乘的形式了。再指导学生把表示４的紫条换成２个红条，
（附图 {图}）
后写出分解式的横式：２８＝２×２×７。
３．教学把６０写成几个质数相乘的形式时，可让学生按前面的思维过程，自己动手摆一摆彩条，写出枝形图及分解式的横式。
４．抽象概括质因数和分解质因数的概念，可先引导学生观察上面的分解式，说明这些式子都是把一个合数写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，就叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示，叫做分解质因数。
５．可让学生边摆彩条，边写出分解式。如：把８、１０、１２、１５、１８分解质因数。也可以说说思维过程。
６．教学用短除法分解因质因数
进行此环节教学时，应先说明什么是短除法，再说明怎样用短除法分解质因数。应让学生注意以下五点：一是除数必须是质数；二是要注意按从小到大的顺序依次去除；三是除到商是质数为止；四是短除后，合数应该用质数相乘的形式表示出来；五是短除式和连乘式都不能出现１，因为１不是质数。如：把５０分解质因数
（附图 {图}）
５０＝２×５×５×１。
这样的写法是错误的。同时要说明分解质因数的书写格式，如把１２分解质因数，正确的书写格式是１２＝２×２×３，不能写成乘法算式：２×２×３＝１２。
二、加强算理的教学
求最大公约数和最小公倍数是本单元教学的重点。它既是约数、倍数、分解质因数等知识的综合运用，又是学习通分、约分的基础。因此教学这部分知识时，要注意加强的算理的教学，使学生能在理解算理的基础上，掌握算法。
教学求两个数的最大公约数时，要让学生理解两个数的最大公约数为什么必须包含两个数全部公有的质因数。下面以例２求１８和３０的最大公约数为例，说明教学过程。
１．把１８和３０分解质因数。要求学生可先用彩条摆出，再写出短除式和横式
（附图 {图}）
２．根据分解质因数的式子，找出１８和３０的约数
找约数时，要让学生弄清分解式中的每个质因数和几个质因数的积都分别是它们各自的约数。１８的约数，除２和３以外，还有２×３＝６，３×３＝９，２×３×３＝１８。３０的约数，除了２、３、５以外还有２×３＝６、２×５＝１０、３×５＝１５、２×３×５＝３０。
３．找出１８和３０的公约数和最大公约数，理解算理
找公约数和最大公约数时，要让学生弄清公约数、最大公约数，与两个数的公有质因数的关系。１８和３０的公约数是２、３和２×３＝６，其中最大公约数是２×３＝６。这时要注意引导学生观察思考，发现１８和３０的公约数２、３、２×３＝６，就是１８和３０公有的质因数和公有质因数的乘积。最大公约数２×３＝６，就是１８和３０这两个数全部公有质因数２和３的乘积。使学生明确１８和３０的最大公约数必须包含它们全部公有的质因数。
然后让学生观察彩条分解式，１８和３０的分解式上都有一个红条和一个浅绿条，那么它们公有的质因数就应有这两个彩条，把它们交叉就表示１８和３０的公约数２和３，及最大公约数２×３＝６。
最后，进一步引导学生弄清如果少取一个公有的质因数，剩下３或２，虽然还是１８和３０的公约数，但不是最大公约数；如果多取一个不是公有的质因数，如：２×３×５＝３０，就不是１８和３０的公约数了。使学生进一步明确１８和３０的最大公约数只能是１８和３０的全部公有质因数的积。
４．教学求最大公约数的一般书写格式
进行这一环节教学时，可把两个短除式合并成一个即可。应注意让学生掌握以下几点：
１）每次都要用公有的质因数去除；
２）除到商是互质数为止；
３）把所有的除数相乘（即公有的质因数相乘）就得到两个数的最大公约数。
教学求两个数的最小公倍数时，要让学生理解为什么两个数的最小公倍数要包含两个数全部公有的质因数，还要包含各自独有的质因数。如：例２求１８和３０的最小公倍数。首先要让学生理解１８的倍数必须包含１８的全部质因数（１８＝２×３×３），３０的倍数必须要包含３０的全部质因数（２×３×５）。接着要弄清１８和３０的公倍数必须包含１８和３０的全部质因数（２×３×３×２×３×５）。然后进一步弄清要保证所求的数是最小公倍数，就要把它们公有的质因数只保留一个（２和３），再把１８和３０各自独有的质因数包含进去（３和５），也就是２×３×３×５＝９０。最后进一步说明如果多取一个质因数，得到的就不是最小公倍数，如果少取一个质因数，得到的就不是公倍数了。这样，可使学生进一步理解算理。
教学求两个数的最小公倍数的一般书写格式时，要注意让学生掌握以下几点：
（１）先用公有的质因数去除；
（２）除到商是互质数为止（商是独有的质因数）；
（３）把所有的除数和两个商连乘（即把全部公有的质因数及各自独有的质因数相乘），就得到两个数的最小公倍数。
教学中，还要注意通过求两个数的最大公约数和最小公倍数的比较，使学生进一步掌握算法，并能比较熟练进行计算。
求三个数的最小公倍数是本单元知识的难点之一。它的算理和求两个数的最小公倍数基本相同，不同的是三个数的最小公倍数必须包含这三个数公有的质因数，还要包含每两个数公有的质因数和各自独有的质因数。如：例４求８、１２和３０的最小公倍数。教学时，要让学生弄清８、１２和３０的最小公倍数，必须包含这三个数全部公有质因数（１个２）和每两个数公有的质因数（１个２和１个３），及各自独有的质因数（２和５）。因此，８、１２和３０的最小公倍数是：２×２×３×２×５＝１２０。
教学求三个数的最小公倍数的一般书写格式时，注意让学生掌握：
要先用三个数公有的质因数去除；
三个数公有的质因数找尽之后，再用任何两个公有的质因数去除，把不能除的移下来，一直除到每两个数都是互质数（通常叫做两两互质）为止；
再把所有的除数和商相乘。
求三个数的最小公倍数时，容易出现如下的错误：
其一是三个数的公有质因数还没有找尽，就找两个数的公有质因数了。（见错例１）
其二是商没有除到两两互质为止。（见错例２）
如：求１２、３０和１６的最小公倍数。
（附图 {图}）
教学时，还要注意与求两个数的最小公倍数比较，并根据学生出现的问题及时指导、加强练习，使之能熟练掌握。
此外，还应该让学生掌握一些特殊情况的求最大公约数和最小公倍数的方法。
如：互质数的最大公约数是１，最小公倍数是这两个数的积。如：３和５是互质数，它们的最大公约数是１，最小公倍数是３×５＝１５。
如果较大数是较小数的倍数，这两个数的最大公约数是较小数，最小公倍数是较大数。如：８和４，８是４的倍数，它们的最大公约数是４，最小公倍数是８。
如果两个数既不互质，也不成倍数关系，可以用大数翻倍的方法，求最小公倍数。如：１２和１６，把１６扩大３倍，得到４８，４８就是１２和１６的最小公倍数。
学生掌握了以上的方法，可以通过口算求一些最大公约数和最小公倍数，提高计算的技能技巧，为通分和约分做准备。如：２和３、３和５、４和６、６和８、４和１２、８和１２、１３和４２等。
三、加强对易混知识的比较
本单元易混的概念较多，如：整除和除尽，奇数与质数，偶数与合数，因数与质因数、质数与互质数，约数、公约数、最大公约数、倍数、公倍数，最小公倍数等。学生正确掌握和运用这些概念是学习的难点。因此，教学中应注意在让学生掌握这些概念的本质特征的基础上，进行比较，并通过练习加深理解、熟练掌握。
１．整除和除尽
整除和除尽既有联系，又有区别。它们都表示两个数相除的关系。不同点：整除是被除数和除数都是整数（０除外），商也是整数，而没有余数；除尽是被除数、除数和商可以是整数，也可以是小数，没有余数。联系是：整除也可以叫除尽，而除尽的不一定都能整除。除尽包含了整除、整除是除尽的特殊情况，可用下图表示。
（附图 {图}）
２．奇数与质数、偶数与合数
奇数与偶数是按能否被２整除把自然数分成两类，一类是奇数，一类是偶数。质数与合数是按一个数约数的个数分类，把自然数分成质数、合数和１。因此这是两种不同的概念。教学时，可结合质数表引导学生观察和思考如下的问题：质数都是奇数吗？奇数一定都是质数吗？使学生认识到质数不一定都是奇数，２是质数，但不是奇数，而是偶数，可知偶数也不一定都是合数。奇数也不一定都是质数，９是奇数，但它是合数。
３．因数与质因数、质数与互质数
因数对积而言，被乘数和乘数都是积的因数。因数可以是质数，也可以是合数。如：４×５＝２０，４和５都是２０的因数。
质因数对合数而言，质因数必须是质数，还是合数的因数。如：２０＝２×２×５，２、２、５都是２０的质因数。２０＝４×５，５是２０的质因数，４不是２０的质因数，因为４是合数。
质数是对一个数而言，把一个数只有１和它本身两个约数的数叫做质数。如：１１，它的约数只有１和１１，因此它是质数。
互质数表示两个数的关系，即公约数只有１的两个数，叫互质数。如：７和８，公约数只有１，这两个数是互质数。互质数不一定都是质数，如：８和９、１３和１５。但两个不同的质数一定是互质数，如３和７、２和１９等。
４．约数、公约数、最大公约数、倍数、公倍数、最小公倍数。
约数和倍数是在整除的前提下存在的相互依存的一组概念。如：８和４，因为８÷４＝２，所以８是４的倍数，４是８的约数，不能只说８是倍数，４是约数。
两个或两个以上数公有的约数叫公约数，其中最大的叫最大公约数。如：８和４的公约数是１、２、４，其中的４是最大公约数。
两个或两个以上数公有的倍数，叫公倍数，其中最小的叫最小公倍数。如：８和４的公倍数有８、１６、２４……，其中的８是最小公倍数。
应明确，一个数约数的个数是有限的，最小的约数是１，最大的是它本身。几个数的公约数的个数也是有限的，１是所有自然数的公约数。一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身。几个数的公倍数的个数也是无限的。
综合以上的知识，除了进行一些填空、选择题的练习，还可以进行一些判断推理题的练习，加深对概念的理解，发展学生的逻辑思维能力。教材中已有此类题的练习，下面再补充一些供参考使用。
判断（对的画√，错的画×）。
（１）因为３．６÷０．６＝６，所以说３．６能被０．６整除。 （ ）
（２）甲数除以乙数等于４，就说甲数是乙数的倍数，乙数是甲数的约数
（ ）
（３）８是约数，１６是倍数。 （ ）
（４）一个数的最大约数就是它的最小倍数。 （ ）
（５）质数一定都是奇数。 （ ）
（６）偶数一定都是合数。 （ ）
（７）自然数除了奇数就是偶数。 （ ）
（８）除１以外的自然数，不是质数就是合数。 （ ）
（９）相邻的两个自然数，一定一个是质数、一个是合数。 （ ）
（１０）６＝２×３，所以２和３都是６的质因数。 （ ）
（１１）８＝２×４，所以２和４都是８的质因数。 （ ）
（１２）２是质因数。 （ ）
（１３）互质数一定都是质数。 （ ）
（１４）互质数没有公约数。 （ ）
（１５）相邻的两个自然数一定是互质数。 （ ）
（１６）一个奇数、一个偶数一定是互质数。 （ ）
（１７）１和除１以外的所有自然数都互质。 （ ）
（１８）两个不相同的数的最大公约数一定比它们的最小公倍数小。（ ）＊
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